Дмитрий Онищенко родился в 1983 году во Львове (Украина). В четыре года начал обучаться музыке под руководством своей матери, профессора Львовской консерватории Ирины Немиры. В 1990 году поступил в Львовскую среднюю специальную музыкальную школу-интернат им. С. А. Крушельницкой. В 1996 году дал первый сольный концерт, а в 1997 году стал лауреатом Международного конкурса юных пианистов им. И. Цветаевой (Минск, Беларусь).
В 2000 году окончил специальную музыкальную школу-интернат по трем специальностям (фортепиано, кларнет, композиция) и поступил в Львовскую государственную музыкальную академию им. Н. В. Лысенко, а затем – в Московскую государственную консерваторию им. П. И. Чайковского. В Московской консерватории занимался под руководством Юрия Лисиченко, Льва Наумова и Андрея Диева. В 2006 году окончил консерваторию, а в 2009 году – аспирантуру консерватории. В 2003–2004 годах обучался также в Королевском Северном колледже музыки Манчестера (класс Нормы Фишер), а начиная с 2006 года – в Высшей школе музыки Ганновера у Владимира Крайнева и  Арье Варди.
Дмитрий Онищенко – победитель V Международного конкурса юных пианистов Владимира Крайнева (2000), IV Международного конкурса им. В. Горовица в Киеве (2001), III Международного конкурса молодых исполнителей в Энсхеде (2004) и Международного конкурса им. Н. Лысенко (Киев, 2007); лауреат XII Международного конкурса им. П. И. Чайковского (Москва, 2002, V премия), Международной фортепианной академии в Хамамацу (2005, II премия), Международного конкурса им. Ж. В. да Мотты (Лиссабон, 2007, II премия) и Сиднейского международного фортепианного конкурса (2012, III премия).
В 2002 году получил Почетную грамоту от Министерства культуры Украины «За весомый вклад в культуру и высокое профессиональное мастерство». Лауреат украинской общенациональной программы «Человек года – 2001». Являлся стипендиатом благотворительных фондов Владимира Крайнева и Мстислава Ростроповича.
Выступал с концертами в России, Украине, Беларуси, Латвии, Польше, Чехии, Германии, Франции, Великобритании, Нидерландах, Португалии, Италии, Швейцарии, Турции, Иордании, США, Японии и Австралии. Даёт мастер-классы, а также принимает участие в работе жюри музыкальных конкурсов как по городам России, так и за рубежом.