Александр Штарк окончил Полтавское музыкальное училище, затем учился в Московской консерватории в классе Сергея Розанова, у него же проходил аспирантуру,  в 1937-1939  у А. В. Володина. В 1935 году завоевал вторую премию на Всесоюзном конкурсе музыкантов-исполнителей. Работал первым кларнетистом в Государственном симфоническом оркестре СССР (1936). Выступал как сольный и ансамблевый музыкант. Штарку посвящён и впервые им исполнен Концерт для кларнета с оркестром Сергея Василенко. Педагогическую деятельность вёл с 1937 года, сначала в музыкальном училище при Московской консерватории, с 1944 в Музыкально-педагогическом институте имени Гнесиных (профессор с 1954), музыкальном училище имени Гнесиных, Институте военных дирижёров при Московской консерватории. Александр Штарк автор нескольких оригинальных сочинений для кларнета и множества учебно-методических пособий, среди которых «Хрестоматия педагогического репертуара для кларнета», этюды, сборники оркестровых трудностей из сочинений Чайковского, переложения и обработки.