Александр Черкасский родился в Одессе 7 октября 1909 года. Затем его семья эмигрировала в США. Свои первые уроки музыки он получил в семье. В США Александр Черкасский продолжил занятия музыкой в Кёртисовском институте музыки, где учился у Иосифа Гофмана до 1935 года. Материальную поддержку молодому Шуре оказал С. В. Рахманинов. Закончив учебу Черкасский совершил кругосветное путешествие, посетив Австралию, Новую Зеландию, Дальний Восток, Европу и Россию. В 1940-х годах Черкасский приезжает в Калифорнию, где работает в Голливуд-боул с такими дирижёрами как сэр Джон Барбиролли и Леопольд Стоковский. В 1946 году Шура Черкасский добивается большого успеха в Гамбурге, играя Рахманинова под управлением Ханса Шмидта-Иссерштедта. Выступал в крупнейших концертных залах Европы со всемирно известными оркестрами и дирижёрами — Консертгебау в Амстердаме, Зал Геркулеса в Мюнхене, Берлинская филармония, Музикферайн в Вене, Театр Елисейских Полей в Париже, в Сантори-холлв Токио. В 1950-х годах он переезжает в Лондоне, где скончался 27 декабря 1995 года.