Известный регент и композитор. Александр родился в 1890 году в Московской губернии. Брат известного хорового дирижёра, педагога и композитора, профессора Московской консерватории П. Г. Чеснокова. В 1899 году окончил с отличием Московское Синодальное училище.  В 1906 году Александр Григорьевич окончил Петербургскую консерваторию по классу композиции у Н. А. Римского-Корсакова и оркестровки у А. К. Глазунова. Состоял в должности помощника учителя пения, затем преподавателем теоретических дисциплин в Придворной певческой капелле(позднее  Народнаяю хоровая академия). С 1912 по 1925 преподавал теорию музыки в Петербургской консерватории (с 1919- профессор). В 1925 годув Праге получил руководство Всестуденческим русским хором имени А. А. Архангельского и продолжил сочинять музыку. Затем переезжает в Париж, где работает редактором и аранжировщиком в музыкальном издательстве Salabert, читает лекции по церковному пению и теории музыки в Русской консерватории и Свято-Сергиевском богословском институте, преподавал в музыкальной школе при Народном университете, читал публичные лекции, дирижировал русским хором, делал оркестровки эстрадной музыки для мюзик-холлов.  Скончался в 1941 году в Париже. Похоронен на кладбище Сент-Женевьев-де-Буа.