Алексей Сергеевич Турищев родился 1 марта 1888 года в Калуге. В 1910 Алексей Турищев окончил Московскую консерваторию. В 1912 становится капельмейстером 177-го Изборского пехотного полка в Пензе, одновременно организовав класс кларнета в Пензенском музыкальном училище. Участник Первой мировой и Гражданской войн. С января 1918 года Турищев служил в Красной Армии, был капельмейстером 1-го Пензенского советского полка. В 1918—1957 годах преподавал по классу духовых инструментов в Пензенском музыкальном училище и музыкальной школе № 1. Был директором училища и музыкальной школы (1925—1935), заведующим учебной частью.

Русский советский военный музыкант, композитор, дирижёр и педагог. Воспитанник 12-го Астраханского гренадёрского полка, автор музыки песни-марша «Врагу не сдаётся наш гордый „Варяг“».  Умер 16 февраля 1962 года в Пензе.